Question

2．已知抛物线y=ax²+bx+3c（b＜0）交x轴于A、B两点（A在B点左侧），交y轴负半轴于点C，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2}$．
（1）当b=c=-4时，求抛物线在x轴上截得的线段长；
（2）如图，过点B的直线交y轴于点D，且BD⊥AC于点E，若OE平分∠AEB，CD=2OD，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，已知M、N是抛物线上两点，且以M、N、O、B为顶点的四边形是以OB为对角线的平行四边形，求直线MN的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴公式，可得a的值，根据根与系数的关系，可得两根的和、两根的积，根据完全平方公式，可得答案；
（2）根据角平分线的性质，可得AO：BO=AE：EB，根据相似三角形的判定与性质，可得AE：AO=EB：OC，根据比例的性质，可得AE：EB=AO：OC，根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据平行四边形的性质，可得MN的中点，根据解方程组，可得k的值．

解答 解：（1）由对称轴，得a=1．
由b=c=-4，
y=x²-4x-12，
AB=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=8；
（2）∵OE平分∠AEB，
∴AO：BO=AE：EB，
∵∠A=∠A，∠AEB=∠AOC，
∴△AEB∽△AOC，
∴AE：AO=EB：OC，
∴AE：EB=AO：OC，
∴AO：BO=AO：OC，
∴OC=OB，
∴C（0，c），B（-c，0），
∵CD=2OC，
易知：OB=OC=3OD=3OA，
∴A（$\frac{1}{3}$c，0）直线
$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}-bc+c=0}\\{\frac{1}{9}{c}^{2}+\frac{1}{3}bc+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴y=x²-2x-3
（3）直线MN经过OB中点（$\frac{3}{2}$，0），
设直线MN为Y=kx+b，
0=$\frac{3}{2}$k+b，b=-$\frac{3}{2}$k，
y=kx-$\frac{3}{2}$k，
联立MN与抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\frac{3}{2}k}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
x²-（2+k）x-3+$\frac{3}{2}$k=0
由题意：$\frac{3}{2}$=$\frac{2+k}{2}$，
∴K=1，
直线MN的解析式为y=x-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用对称轴求的a的值，利用完全平方公式间的关系是解题关键；利用了角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，利用比例的性质得出AO：BO=AO：OC是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用平行四边形的性质得出MN的中点是解题关键，又利用了解方程组．