Question

正方形ABCD内一点到三顶点距离分别是1，2，3，则正方形的面积等于________．

Answer 1

5+2
分析：把△PAB绕A点逆时针旋转90°得△EAD，把△CPB绕C点顺时针旋转90°得△CFD，连PE，PF，则∠1=∠2，∠3=∠4，得到∠2+∠4=90°，∠EDF=180°，即E，D，F共线，且ED=PB=2，DF=PB=2，△APE，△CPF均为等腰直角三角形，所以S_△APE=×1×1=；S_△CPF=×3×3=；再在△PEF中，PE=，PF=3，EF=4，利用勾股定理的逆定理得到△PEF为直角三角形，∠PEF=90°，则S_△PEF=×EP×EF=××4=2，最后利用S_{正方形ABCD}=S_{五边形APCFE}=S_△PEF+S_△APE+S_△CPF，即可得到答案．
解答：解：四边形ABCD为正方形，PA=1，PB=2，PC=3，
把△PAB绕A点逆时针旋转90°得△EAD，把△CPB绕C点顺时针旋转90°得△CFD，连PE，PF，如图，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
而∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠4=90°，
而∠ADC=90°，
∴∠EDF=180°，即E，D，F共线；
由旋转的性质得到△APE，△CPF均为等腰直角三角形，并且ED=PB=2，DF=PB=2，
∴S_△APE=×1×1=；S_△CPF=×3×3=，
在△PEF中，PE=，PF=3，EF=4，
∴PF²=PE²+EF²，
∴△PEF为直角三角形，∠PEF=90°，
∴S_△PEF=×EP×EF=××4=2，
∴S_{正方形ABCD}=S_{五边形APCFE}=S_△PEF+S_△APE+S_△CPF=2+5．
故答案为2+5．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．同时考查了正方形、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理．