Question

11．如图1，正方形ABCD，△AMN是等腰Rt△，∠AMN=90°，当Rt△AMN绕点A旋转时，边AM、AN分别与BC（或延长线图3）、CD（或延长线图3）相交于点E、F，连接EF，小明与小红在研究图1时，发现有这么一个结论：EF=DF+BE；为了解决这个问题，小明与小红，经过讨论，采取了以下方案：延长CB到G，使BG=DF，连接AG，得到图2，请你根据小明、小红的思路，结合图2，解决下列问题：
（1）证明：△ADF≌△ABG；
（2）根据图（3），①结论EF=DF+BE是否成立，如不成立，写出三线段EF、DF、BE的数量关系并证明．
②若CE=6，DF=2，求：正方形ABCD的边长以及△AEF中AE边上的高．

Answer 1

分析 （1）根据正方形性质得出AD=AB，∠D=∠ABG，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）①EF=BE-DF，理由是：在BC上取BG=DF，连接AG，证△ABG≌△ADF，△FAE≌△EAG即可；
②设正方形ABCD的边长是x，则BC=CD=x，EF=GE=BC-BG+CE=x+4，在Rt△FCE中，由勾股定理得出方程（x+4）²=（x+2）²+6²，求出即可．

解答 （1）证明：①如图1，延长CB到G，使BG=DF，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ABC=∠DAB=∠ABG=90°，AD=AB，
在△ADF和△ABG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠ABG}\\{DF=BG}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABG（SAS）；

（2）①不成立，三线段EF、DF、BE的数量关系是EF=BE-DF，
证明：如图3，在BC上取BG=DF，连接AG，
在△ABG和△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADF}\\{BG=DF}\end{array}\right.$
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AF=AG，∠DAF=∠BAG，
∵△AMN是等腰直角三角形，
∴∠NAM=∠N=45°，
∴∠FAD+∠DAC=45°，
∴∠DAC+∠BAG=45°，
∵∠DAB=90°，
∴∠GAE=90°-45°=45°=∠FAE，
在△FAE和△GAE中
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AG}\\{∠FAE=GAF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$
∴△FAE≌△GAE（SAS），
∴EF=EG=BE-BG，
∵BG=DF，
∴EF=BE-DF．

②解：设正方形ABCD的边长是x，则BC=CD=x，
∵CE=6，DF=BG=2，
∴EF=GE=CG+CE=BC-BG+CE=x-2+6=x+4，
在Rt△FCE中，由勾股定理得：EF²=FC²+CE²，
∴（x+4）²=（x+2）²+6²，
解得：x=6，
∴AG=AF=$\sqrt{36+4}=2\sqrt{10}$，
∵∠FAM=45°，
如图3，过F作FH⊥AE于H，
∴FH=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AF，
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}×2\sqrt{10}$
=$2\sqrt{5}$，
即△AEF中AE边上的高为$2\sqrt{5}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理的应用，主要考查学生的推理能力，证明过程类似．