Question

17．已知，AB是⊙O的直径，点C、D是半⊙O 的三等分点（如图1），
（1）求证：四边形OBCD是菱形．
（2）直线PD切⊙O于D，交直径BA的延长线于P，若切线长PD的长为3，求菱形的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OC根据已知条件得到∠AOD=∠COD=∠BOC=60°，推出△COD与△BOC是等边三角形，于是得到结论；
（2）如图2，由切线的性质得到∠PDO=90°，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）连接OC∵点C、D是半⊙O 的三等分点，AB是⊙O的直径，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$，
∴∠AOD=∠COD=∠BOC=60°，CD=BC，
∵OD=OC=OB，
∴△COD与△BOC是等边三角形，
∴CD=OD=BC=OB=OC，
∴四边形OBCD是菱形；
（2）如图2，
∵直线PD切⊙O于D，
∴∠PDO=90°，
∵∠POD=60°，
∴OD=$\sqrt{3}$，
∴BC=OD=$\sqrt{3}$，
过C作CE⊥OB于E，
∴CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
∴菱形的面积=$\sqrt{3}×$$\frac{3}{2}$=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．