Question

2．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．
（1）求∠AOC的度数；
（2）求证：AC=AE+CD；
（3）图中还有相等的线段吗？请找出来（不用说明理由）．

Answer 1

分析 （1）由题中条件可得△AOE≌△AOF，进而得出∠AOE=∠AOF，再利用∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，即可得出答案；
（2）通过角之间的转化可得出△COF≌△COD，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．
（3）过O作OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分别为M、N，由条件可知O在∠B的平分线上，结合条件可求得∠EOD=∠MON=120°，可得到∠EOM=∠NOD，可证明△EOM≌△DON，可证明OD=OE．

解答 解：（1）如图1，在AC上截取AF=AE，连接OF，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AOE和△AOF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠EAO=∠FAO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△AOF（SAS），
∴∠AOE=∠AOF，
∵∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，
∴∠AOC=120°；
（2）∵∠AOC=120°，∴∠AOE=60°，
∴∠AOF=∠COD=60°=∠COF，
在△COF和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FOC=∠DOC}\\{CO=CO}\\{∠FCO=∠DCO}\end{array}\right.$，
∴△COF≌△COD（ASA）
∴CF=CD，
∴AC=AF+CF=AE+CD；
（3）OD=OE，如图2，过O作OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分别为M、N，

∵AD、CE为角平分线，
∴点O在∠B的平分线上，
∴OM=ON，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-60°=120°，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠BCA，
∴∠BAC=2∠OAC，∠BCA=2∠OCA，
∴∠OAC+∠OCA=60°，
∴∠AOC=120°，
∴∠EOD=120°，
在四边形BMON中，∠B=60°，∠BMO=∠BNO=90°，
∴∠MON=120°，
∴∠EOM=∠NOD，
在△EOM和△DON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOM=∠DON}\\{OM=ON}\\{∠OME=∠OND}\end{array}\right.$，
∴△EOM≌△DON（ASA），
∴OD=OE．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，根据在AC上截取AF=AE得出△AOE≌△AOF是解题关键．