Question

20．已知抛物线y=x²+bx+3与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=4，S_△ABC=6，求抛物线的顶点坐标．

Answer 1

分析 根据抛物线y=x²+bx+3与x轴的正半轴交于B、C两点，可设方程x²+bx+c=0的两个根为x₁，x₂，可求出b值，进而求出抛物线的顶点坐标．

解答 解：∵该抛物线与x轴的正半轴交于B、C两点，
∴设方程x²+bx+c=0的两个根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-b，x₁x₂=3，
∵BC=4=|x₁-x₂|．
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4，
∴16=b²-12，
∵x₁+x₂=-b＞0
∴b＜0
∴b=-2$\sqrt{7}$，
∴y=x²-2$\sqrt{7}$x+3，
∴抛物线的顶点坐标为（$\sqrt{7}$，-4）．

点评 此题主要考查一元二次方程与函数的关系及三角形的面积公式，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．