Question

D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？为什么？
（3）当OA与BC满足

 

时，四边形DGEF是一个矩形（直接填答案，不需证明．）

Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：（1）首先利用三角形中位线的性质得出DE∥BC，DE=

1

2

BC，同理，GF∥BC，GF=

1

2

BC，即可得出DE∥GF，DE=GF即可得出四边形DGFE是平行四边形；
（2）利用（1）中所求，只要邻边再相等即可得出答案．
（3）利用（1）中所求，只要邻边相互垂直的平行四边形即为矩形．

解答： （1）证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点．
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC．
同理，GF∥BC，GF=

1

2

BC．
∴DE∥GF，DE=GF．
∴四边形DEFG是平行四边形．

（2）解：解法一：点O的位置满足两个要求：AO=BC，且点O不在射线CD、射线BE上．
∵由（1）得出四边形DEFG是平行四边形，
∴点O的位置满足两个要求：AO=BC，且点O不在射线CD、射线BE上时，
可得GD=

1

2

AO，GE=

1

2

BC，
∴DG=GE，
∴平行四边形DEFG是菱形；
解法二：点O在以A为圆心，BC为半径的一个圆上，但不包括射线CD、射线BE与⊙A的交点．
解法三：过点A作BC的平行线l，点O在以A为圆心，BC为半径的一个圆上，但不包括l与⊙A的两个交点．

（3）由（1）知，四边形DEFG是平行四边形．
当OA⊥BC时，DG⊥GF，
故平行四边形DGFE是矩形．
故答案是：OA⊥BC．

点评：此题主要考查了中点四边形的判定以及三角形的中位线的性质和平行四边形以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关的定理是解题关键．