Question

17．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足|a+b-2|+$\sqrt{2a-b+5}$=0，现同时将点A，B分别向右平移1个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，B的对应点为C，D．
（1）请直接写出A、B、C、D四点的坐标并在坐标系中画出点A、B、C、D，连接AC，BD，CD．
（2）点E在坐标轴上，且S_△BCE=S_{四边形ABDC}，求满足条件的点E的坐标．
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在线段BD上移动时（不与B，D重合）证明：$\frac{∠DCP+∠BOP}{∠CPO}$是个常数．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质求出a、b的值得出点A、B的坐标，再由平移可得点C、D的坐标，即可知答案；
（2）分点E在x轴和y轴上两种情况，设出坐标，根据S_△BCE=S_{四边形ABDC}列出方程求解可得；
（3）作PE∥AB，则PE∥CD，可得∠DCP=∠CPE、∠BOP=∠OPE，继而知∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP，即可得答案．

解答 解：（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{2a-b=-5}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=3．
所以A（-1，0），B（3，0），C（0，2），D（4，2），
如图，


（2）∵AB=3-（-1）=3+1=4，
∴S_{四边形ABDC}=4×2=8；
∵S_△BCE=S_{四边形ABDC}，
当E在y轴上时，设E（0，y），
则$\frac{1}{2}$•|y-2|•3=8，
解得：y=-$\frac{10}{3}$或y=$\frac{22}{3}$，
∴$E（0，\frac{22}{3}）（0，-\frac{10}{3}）$； 
 当E在x轴上时，设E（x，0），
则$\frac{1}{2}$•|x-3|•2=8，
解得：x=11或x=-5，
∴E（-5，0），（11，0）；

（3）由平移的性质可得AB∥CD，
如图，过点P作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，
∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP，
即∠DCP+∠BOP=∠CPO，
所以比值为1．

点评 本题主要考查非负数的性质、一元一次方程的应用、平行四边形的性质及平行线的判定与性质，根据非负数性质求得四点的坐标是解题的根本，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．