Question

【题目】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．

（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）

Answer 1

【答案】（1）y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）当x=80时，y最大值=4500；（3）销售单价应该控制在82元至90元之间．

【解析】

试题分析：（1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程；

（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；

（3）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（﹣5x+550）≤7000，通过解不等式来求x的取值范围．

解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]

=（x﹣50）（﹣5x+550）

=﹣5x2+800x﹣27500

∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；

（2）y=﹣5x2+800x﹣27500

=﹣5（x﹣80）2+4500

∵a=﹣5＜0，

∴抛物线开口向下．

∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，

∴当x=80时，y最大值=4500；

（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，

解得x1=70，x2=90．

∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．

由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，

解得x≥82．

∴82≤x≤90，

∵50≤x≤100，

∴销售单价应该控制在82元至90元之间．