Question

13．如图，等腰直角△ECD的斜边为6，点A从点E出发，沿射线ED以每秒一个单位的速度运动，连接AC过点C作BC⊥AC，且AC=BC，连接AB，BD，运动1秒钟．
（1）当t为何值时，四边形ACBD为正方形，请写出证明过程；
（2）以点A、D、B、C四点组成的四边形而积记为S，求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）如图1中，当EA=AD时，即t=3s时，四边形ACBD是正方形；
（2）分两种情形分别讨论即可：①如图2中，当0＜t＜6时，②如图3中，当t＞6时，分别求解即可；

解答 解：（1）如图1中，当EA=AD时，即t=3s时，四边形ACBD是正方形．

理由：∵CE=CD，AE=AD，∠ECD=45°，
∴CA⊥DE，CA=AD=BC，
∵∠ACB=∠CAD=90°，
∴∠ACB+∠CAD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ACBD 是平行四边形，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴四边形ACBD是正方形．
即t=3s时，四边形ACBD是正方形．

（2）①如图2中，当0＜t＜6时，

∵∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ECA=∠DCB，
∵CE=CD，CA=CB，
∴△ECA≌△DCB，
∴S_△ECA=S_△DCB，
∴S_{四边形ACBD}=S_△ECD=9，

②如图3中，当t＞6时，作CH⊥DE于H．

易知CH=EH=DH=3，
S_{四边形ADBC}=S_△ADC+S_△ACB=$\frac{1}{2}$•（t-6）•3+$\frac{1}{2}$•[3²+（t-3）²]=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{9}&{（0＜t＜6）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{3}{2}t}&{（t＞6）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质．正方形的判定和性质、四边形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．