Question

已知直线y=-3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax²+bx+c经过点A，B及点M（-4，6）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）设抛物线与x轴的另一交点为C，顶点为P，求四边形ABPC的面积；
（3）在平面内找一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形．（直接写出所有符合条件的D点的坐标，不必写过程）

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求出A，B点坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）利用S_{四边形ABPC}=S_△ABO+S_{四边形BOEP}+S_△PCD，进而求出即可；
（3）分别利用当BD∥AC时，DB=AC=8，当AD∥BC时，DB=AC=8，求出D点坐标即可．

解答：25．（1）y=0时x=2，所以A（2，0）；x=0时，y=6，所以B（0，6），
∵y=ax²+bx+c经过点A（2，0）、B（0，6）、M（-4，6）．
∴

4a+2b+c=0 c=6 16a-4b+c=6

，
解得：

a=- 1 2 b=-2 c=6

∴要求的抛物线表达式是：y=-

1

2

x²-2x+6；

（2）过P作PE⊥x轴交x轴于E，得：E（-2，0）．
当-

1

2

x²-2x+6=0时
∴x=2或x=-6．
∴点C的坐标是（-6，0）．
∴S_{四边形ABPC}=S_△ABO+S_{四边形BOEP}+S_△PCD
=

1

2

AO×OB+

1

2

（OB+EP）DO+

1

2

DP×CE
=

1

2

×2×6+

1

2

×（6+8）×2+

1

2

×8×4
=6+14+16
=36．

（3）如图所示：当BD∥AC时，DB=AC=8，
则D₁（8，6）；D₂（-8，6）；
当AD∥BC时，DB=AC=8，
过D作DF⊥x轴交x轴于F，
则△AFD≌△COB，
∴AF=OC=6，DF=BC=6，
∴OF=4
∴D₃（-4，-6），
∴综上所述：符合题意的D点坐标为：D₁（8，6）；D₂（-8，6）；D₃（-4，-6）．

点评：此题主要考查了平行四边形判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式以及多边形面积求法等知识，利用分类讨论得出是解题关键．