Question

5．如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT．
（Ⅰ）求证：DT•DM=DO•DC；
（Ⅱ）若∠DOT=60°，试求∠BMC的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可证△DCN与△DNO相似，得DN²=DB•DO，由切割线定理可得DN²=DT•DM，即可得证；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）的结论证得△DTO∽△DCM，得到两个角∠DOT、∠DMC相等，结合圆周角定理即可求得∠BMC．

解答 （Ⅰ）证明：∵MD与圆O相交于点T，
∴由切割线定理得：DN²=DT•DM，DN²=DB•DA，
∴DT•DM=DB•DA，
设半径OB=r，
∵BD=OB，且BC=OC=$\frac{r}{2}$，
则DB′DA=r•3r=3r²，DO•DC=2r•$\frac{3r}{2}$=3r²，
∴DT•DM=DO•DC；
（Ⅱ）解：由（1）可知，DT•DM=DO•DC，且∠TDO=∠CDM，
∴△DTO∽△DCM，∴∠DOT=∠DMC，
根据圆周角定理得，∠DOT=2∠DMB，
∴∠BMC=30°．

点评 本题主要考查与圆有关的比例线段、圆中的切割线定理以及相似三角形；证明三角形相似是解决问题的关键．