Question

12．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），B（0，4），
C（-1，0），D（-4，0），点P（2a-1，4）是第一象限
内一点，点Q（-1，4-3a）是第三象限内一点
（1）求a的取值范围；
（2）①以A，B，P为顶点构造如图①所示的长方形，面积记为
S_①；以C，D，Q为顶点构造如图②所示的长方形，面积记为
S_②，则S_①=4a-1；S_②=9a-12（用含a的式子表示）；
②若想在构造的两个长方形中选择一个面积较大的，你认为应该如何选？

Answer 1

分析 （1）根据第一象限和第三象限点的坐标特征得到2a-1＞0，且4-3a＜0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）利用坐标表示线段长，然后根据矩形面积公式求解；
（3）先计算出S_①-S_②=11-5a，然后分类讨论：当11-5a＞0，即$\frac{4}{3}$＜a＜$\frac{11}{5}$时，S_①-S_②＞0；当11-5a=0，a=$\frac{11}{5}$时，S_①=S_②；当11-5a＜0，a＞$\frac{11}{5}$时，S_①-S_②＜0．

解答 解：（1）2a-1＞0，且4-3a＜0，解得a＞$\frac{4}{3}$；
（2）①AB=4-2=2，PB=2a-1，则S_①=2（2a-1）=4a-1；
CD=-1-（-4）=3，CQ=3a-4，则S_②=3（3a-4）=9a-12；
故答案为4a-1，9a-12；
（3）S_①-S_②=4a-1-（9a-12）=11-5a，
当11-5a＞0，$\frac{4}{3}$＜a＜$\frac{11}{5}$时，S_①-S_②＞0，则选择以A，B，P为顶点构造如图①所示的长方形；
当11-5a=0，a=$\frac{11}{5}$时，S_①=S_②，则选择两个都一样；
当11-5a＜0，a＞$\frac{11}{5}$时，S_①-S_②＜0，则选择以C，D，Q为顶点构造如图②所示的长方形．

点评 本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；记住各象限内点的坐标特征．也考查了矩形面积公式．