Question

探究与应用请观察下列各式：
①

1

1×2

=1-

1

2

，②

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，③

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，④

1

4×5

=

1

4

-

1

5

．
（1）第10个算式为

 

=

 

；
（2）请计算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

；
（3）请参照以上各式特点计算：

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

28×31

．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类,有理数的混合运算

专题：

分析：（1）第1个算式的分子为1，分母为1×2，第2个算式的分子为1，分母为2×3，…第10个算式的分子为1，分母为10×11，第n个算式的分子为1，分母为n×（n+1）；
（2）依据上面这种算式的规律把各个分数分解为2个分数的差，化简后只剩2个数的差，计算即可；
（3）把各个分数分解为2个分数的差乘

1

3

，化简后计算即可．

解答：解：（1）第10个算式为

1

10×11

=

1

10

-

1

11

；
（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

9

-

1

10

=1-

1

10

=

9

10

；
（3）

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

28×31

=

1

3

×（1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+

1

7

-

1

10

+…+

1

28

-

1

31

）
=

1

3

×（1-

1

31

）
=

1

3

×

30

31

=

10

31

．

点评：此题考查数字的变化规律；得到分子为1，分母为两个相邻数的分数的计算规律是解决本题的关键．