Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE的延长线上，AD⊥BE．
（1）求证：∠DAE+∠ABE=45°；
（2）若BE=6，求AD的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质进行证明．
（2）由BD⊥AD且BD平分∠ABC 证得AD=FD，再根据∠FAC+∠AED=90°，∠CBE+∠CEB=90°，进一步求得△AFC≌△BEC，则得AF=BE，从而得到AD=

1

2

BE．

解答： （1）证明：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
又∵BE平分∠ABC交AC于E，
∴∠CBE=∠ABE．
∵AD⊥BE，
∴∠DAE+∠CAB+∠ABE=90°，即∠DAE+∠ABE+45°=90°，
∴∠DAE+∠ABE=45°；

（2）解：如图，延长AD、BC交于F点，∵BD⊥AD且BD平分∠ABC，
∴AD=FD，
∵∠FAC+∠AED=90°，∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠FAC=∠CBE，
∵在△AFC与△BEC中，

∠FAC=∠CBE AC=BC FCA=∠ECB=90°

，
∴△AFC≌△BEC（ASA），
∴AF=BE，
∴AD=

1

2

BE=3．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用角平分线和直角三角形中角之间的关系式，求得三角形的全等，而得到结论．