Question

8．如图是一块直角三角形的绿地，量得直角边BC为6cm，AC为8cm，现在要将原绿地扩充后成三角形，且扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，求扩充后的等腰三角形绿地的周长．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，构造出等腰三角形，根据等腰三角形及直角三角形的性质利用勾股定理解答．

解答 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8m，BC=6m，
由勾股定理有：AB=10m，应分以下三种情况：
①如图1，

当AB=AD=10m时，
∵AC⊥BD，
∴CD=CB=6m，
∴△ABD的周长=10+10+2×6=32（m）．
②如图2，

当AB=BD=10m时，
∵BC=6m，
∴CD=10-6=4m，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$（m），
∴△ABD的周长=10+10+4$\sqrt{5}$=（20+4$\sqrt{5}$）m．
③如图3，

当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x-6，
∵由勾股定理得：AD²=AC²+CD²=8²+（x-6）²=x²，
解得x=$\frac{25}{3}$．
∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=$\frac{25}{3}$+$\frac{25}{3}$+10=$\frac{80}{3}$（m）．
综上所述，扩充后的等腰三角形绿地的周长为：32m或（20+4$\sqrt{5}$）m或$\frac{80}{3}$m．

点评 本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，在解答此题时要注意分三种情况讨论，不要漏解．