Question

8．如图，直线y=-x+4分别交x轴y轴于A、B两点，点M是线段AB上的一动点，以M为圆心，r为半径画圆．
（1）若点M的横坐标为3，当⊙M与x轴相切时，则半径r为1，此时⊙M与y轴的位置关系是相离（直接写出答案）
（2）若r=$\frac{5}{2}$，当⊙M与坐标轴有且只有3个公共点时，求点M的坐标（可用图2进行探究）
（3）如图3，当圆心M与B重合，r=2时，设点C为⊙M上的一个动点，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转90°，得到线段OD，连接BD、BC，求BD长的最值并直接写出对应的点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据坐标轴上点的坐标特征求出A点和B点的坐标，根据相似三角形的性质解答；
（2）根据直线与圆是位置关系解答；
（3）连接AD，证明△COB≌△DOA，求出AD的长，得到BD最长或最短距离，根据直角三角形的性质求出点D的坐标，根据全等三角形的性质得到点C的坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=4，
当y=0时，x=4，
∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，4），
点N为⊙M与x轴的切点，连接MN，
则MN∥OB，
∴$\frac{AN}{AO}$=$\frac{MN}{OB}$，即$\frac{1}{4}$=$\frac{MN}{4}$，
解得，MN=1，
-x+4=1，
解得，x=3，
∵3＞1，
∴⊙M与y轴的位置关系是相离，
故答案为：1；相离；
（2）当r=$\frac{5}{2}$，⊙M与x轴相切时，
由$\frac{5}{2}$=-x+4，得x=$\frac{3}{2}$，
则⊙M与y轴相交，
此时点M的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），
当r=$\frac{5}{2}$，⊙M与y轴相切时，
由y=-$\frac{5}{2}$+=$\frac{3}{2}$，
则⊙M与x轴相交，
此时点M的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（3）连接AD，
∵∠CDO=∠BOA=90°，
∴∠COB=∠DOA，
在△COB和△DOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}\\{∠COB=∠DOA}\\{OB=OA}\end{array}\right.$，
∴△COB≌△DOA，
∴DA=BC=2，
当点D在线段AB上时，BD最短为4$\sqrt{2}$-2，
此时点D的坐标为（4-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
则C的坐标为（-$\sqrt{2}$，4-$\sqrt{2}$），
当点D在线段BA的延长线上时，BD最长为4$\sqrt{2}$+2，
此时点D的坐标为（4+$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
则C的坐标为（$\sqrt{2}$，4+$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查的是直线与圆的位置关系、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握直线与圆的位置关系的判断方法、正确得到BD最长或最短时点D的位置是解题的关键．