Question

如图，抛物线y=-x²+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．
（1）求tan∠DBC的值；
（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题,勾股定理,锐角三角函数的定义

专题：数形结合

分析：（1）如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则易推知CD∥AB，所以∠BCD=∠ABC=45°．利用直角等腰直角三角形的性质和图中相关线段间的和差关系求得BC=4

2

，BE=BC-CE=

5

2

2

．由正切三角函数定义知tan∠DBC=

DE

BE

=

3

5

；
（2）过点P作PF⊥x轴于点F，易得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=

3

5

．设P（x，-x²+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知

-x2+3x+4

4-x

=

3

5

，通过解方程求得点P的坐标为（-

2

5

，

66

25

）．

解答：解：（1）令y=0，则-x²+3x+4=-（x+1）（x-4）=0，
解得 x₁=-1，x₂=4．
∴A（-1，0），B（4，0）．
当x=3时，y=-3²+3×3+4=4，
∴D（3，4）．
如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．
∵C（0，4），
∴CD∥AB，
∴∠BCD=∠ABC=45°．
在直角△OBC中，∵OC=OB=4，
∴BC=4

2

．
在直角△CDE中，CD=3．
∴CE=ED=

3

2

2

，
∴BE=BC-CE=

5

2

2

．
∴tan∠DBC=

DE

BE

=

3

5

；

（2）过点P作PF⊥x轴于点F．
∵∠CBF=∠DBP=45°，
∴∠PBF=∠DBC，
∴tan∠PBF=

3

5

．
设P（x，-x²+3x+4），则

-x2+3x+4

4-x

=

3

5

，
解得 x₁=-

2

5

，x₂=4（舍去），
∴P（-

2

5

，

66

25

）．

点评：本题主要考查了二次函数综合型题目，其中涉及到了坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义以及二次函数图象上点的坐标特征等知识点．解题时，要注意数形结合的数学思想方法．