Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P在斜边AB上 （不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF．随着P点在边AB上位置的改变，EF的长度是否也会改变？若不变，请你求EF的长度；若有变化，请你求EF的变化范围．

Answer 1

分析：EF的长度会改变．连接PC，证得四边形PECF是矩形，得到EF=PC，求出PC的范围，从而得到EF的范围．

解答：解：EF的长度会改变（1分）
理由是：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF=PC（3分），
∵AC=3，BC=4，
∴AB=5，
过点C作CD⊥AB，此时CD=PC且PC最小，
∴PC=

AC•BC

AB

=

12

5

=2.4，
∵点P是斜边AB上 （不与A、B重合），
∴PC＜BC=4，
∴PC的范围是2.4≤PC＜4，
即EF的范围是2.4≤EF＜4．（2分）

点评：本题是一个动点题，考查了勾股定理以及矩形的判定和性质，三个角是直角的四边形是矩形．