Question

10．如图，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，BD=5cm，求∠ABD的度数及AB的长．

Answer 1

分析 首先连接AD，由在⊙O中，AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=∠ADB=90°，又由CD是∠ACB的角平分线，得出∠ACD=∠BCD=45°，根据圆周角定理得出∠ABD=∠ACD=45°，可得△ABD是等腰直角三角形，即可根据勾股定理求得AB的长．

解答 解：连接AD，
∵在⊙O中，AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ABD=∠ACD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{B{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{2×5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了圆周角定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．