Question

12．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，判断BD与CF的数量关系，并证明你的结论．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①判断BD与CF的位置关系，并证明你的结论；
②当AB=4，AD=$\sqrt{2}$时，求线段BG的长．

Answer 1

分析 （1）△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF；
（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由对顶角相等，易证得△BMA∽△CMG，根据相似三角形的对应角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可证得BD⊥CF；
②首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN的长，又由等角的三角函数值相等，可求得AM=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{4}{3}$，然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的长，再由勾股定理即可求得线段BG的长．

解答 解：（1）BD=CF，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD与△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF；
（2）①BD⊥CF，证明：设BG交AC于点M，
∵△BAD≌△CAF（已证），
∴∠ABM=∠GCM，
∵∠BMA=∠CMG1，
∴△BMA∽△CMG，
∴∠BGC=∠BAC=90°，
∴BD⊥CF；
②过点F作FN⊥AC于点N，如图：

∵在正方形ADEF中，AD=DE=$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}=\sqrt{{\sqrt{2}}^{2}+{\sqrt{2}}^{2}}=2$，
∴AN=AN=$\frac{1}{2}$AE=1，
∵在等腰直角△ABC中，AB=4，
∴CN=AC-AN=3，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{2}$，
∴在RT△FCN中，tan∠FCN=$\frac{FN}{CN}=\frac{1}{3}$，
在RT△ABM中，tan∠FCN=tan∠ABM=$\frac{AM}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴AM=$\frac{1}{3}AB=\frac{4}{3}$，
∴CM=AC-AM=$4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$，BM=$\sqrt{A{B}^{2}+A{M}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+（\frac{4}{3}）^{2}}=\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
∵△BMA∽△CMG，
∴$\frac{BM}{BA}=\frac{CM}{CG}$，即$\frac{\frac{4\sqrt{10}}{3}}{4}=\frac{\frac{8}{3}}{CG}$，
∴$CG=\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
∴在RT△BGC中，BG=$\sqrt{B{C}^{2}-C{G}^{2}}=\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-（\frac{4\sqrt{10}}{5}）^{2}}=\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．