题目内容
7．如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为2$\sqrt{5}$个单位长度，点P为直线y=-x+8上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．
（1）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；
（2）求点P的坐标；
（3）若直线y=-x+8沿x轴向左平移得到一条新的直线y1=-x+b，此直线将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值；
（4）若将⊙O沿x轴向右平移（圆心O始终保持在x轴上），试写出当⊙O与直线y=-x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．（直接写出答案）
分析 （1）连接OC、OD，如图甲，根据切线的性质得OC⊥PC，PD⊥PD，加上\PC⊥PD，则可判断四边形OCPD为矩形，然后利用OC=OD可判断四边形OCPD为正方形；
（2）作PF⊥x轴于F，如图甲，利用正方形的性质得OP=$\sqrt{2}$OD=2$\sqrt{10}$，设P（t，-t+8），利用勾股定理得到t2+（-t+8）2=（2$\sqrt{10}$）2，然后解方程求出t即可得到P点坐标；
（3）如图乙，利用直线y1=-x+b将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3可得到直线y1=kx+b与坐标的交点A和点B为⊙O与坐标的交点，然后讨论：当点A和点B都在坐标轴的正半轴上或当点A和点B都在坐标轴的负半轴上时，易得b的值为±2$\sqrt{5}$；
（4）先确定A点和B点坐标，再判断△OAB为等腰直角三角形，则∠ABO=45°，然后讨论：当圆移动到点O′时与直线AB相切，作O′M⊥AB，如图丙，根据切线的性质得O′M=2$\sqrt{5}$，利用等腰直角三角形的性质得BO′=$\sqrt{2}$O′B=2$\sqrt{10}$，则OO′=8-2$\sqrt{10}$，所以点O′的坐标为（8-2$\sqrt{10}$，0）；当圆移动到点O″时与直线AB相切，作O″N⊥AB，如图丙，同理可得BO″=2$\sqrt{10}$，则OO′=8+2$\sqrt{10}$，所以点O″的坐标为（8+2$\sqrt{10}$，0），于是根据直线与圆的位置关系可得到⊙O与直线y=-x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．
解答 解：（1）四边形OCPD为正方形．理由如下：
连接OC、OD，如图甲，
∵PC和PD为切线，
∴OC⊥PC，PD⊥PD，
而\PC⊥PD，
∴∠OCP=∠ODP=∠CPD=90°，
∴四边形OCPD为矩形，
而OC=OD，
∴四边形OCPD为正方形；
（2）作PF⊥x轴于F，如图甲，
∵四边形OCPD为正方形，
∴OP=$\sqrt{2}$OD=$\sqrt{2}$•2$\sqrt{5}$=2$\sqrt{10}$，
设P（t，-t+8），
∴t2+（-t+8）2=（2$\sqrt{10}$）2，解得t1=2，t2=6，
∴P点坐标为（2，6）或（6，2）；
（3）如图乙，
∵直线y1=-x+b将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3，
即直线y1=-x+b将⊙O的圆周分得的劣弧为圆周的$\frac{1}{4}$，
∵直线y1=-x+b与坐标轴的夹角为45°，
∴直线y1=kx+b与坐标的交点A和点B为⊙O与坐标的交点，
当点A和点B都在坐标轴的正半轴上时，b=2$\sqrt{5}$；当点A和点B都在坐标轴的负半轴上时，b=-2$\sqrt{5}$，
即b的值为±2$\sqrt{5}$；
（4）当x=0时，y=-x+8=8，则A（0，8），
当y=0时，-x+8=0，解得x=8，则B（8，0），
∴OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
当圆移动到点O′时与直线AB相切，作O′M⊥AB，如图丙，则O′M=2$\sqrt{5}$，
∵∠MBO′=45°，
∴△O′BM为等腰直角三角形，
∴BO′=$\sqrt{2}$O′B=2$\sqrt{10}$，
∴OO′=8-2$\sqrt{10}$，
∴点O′的坐标为（8-2$\sqrt{10}$，0），
当圆移动到点O″时与直线AB相切，作O″N⊥AB，如图丙，同理可得BO″=2$\sqrt{10}$，
∴OO′=8+2$\sqrt{10}$，
∴点O″的坐标为（8+2$\sqrt{10}$，0），
∴当⊙O与直线y=-x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围为8-2$\sqrt{10}$≤m≤8+2$\sqrt{10}$．
点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握正方形的判定、切线的性质和圆心角、弧、弦的关系；理解坐标与图形的性质，理解一次函数图象上点的坐标特征；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
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