Question

12．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么$\widehat{AB}$与$\widehat{CD}$的大小有什么关系？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义得到∠OEB=∠OFD=90°，根据全等三角形的判定得到△EOB≌△FOD，由全等三角形的性质即可得到结论；
（2）证△EOB≌△FOD，推出BE=DF，根据垂径定理求出AB=CD，根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．

解答 （1）解：OE=OF，
理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA=OB，OC=OD，
∴∠OEB=∠OFD=90°，∠EOB=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠FOD=$\frac{1}{2}$∠COD，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠EOB=∠FOD，
在△EOB和△FOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEB=∠OFD}\\{∠EOB=∠FOD}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴△EOB≌△FOD（AAS），
∴OE=OF．

（2）解：弧AB=弧CD，AB=CD，∠AOB=∠COD，
理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠OEB=∠OFD=90°，
在Rt△BEO和Rt△DFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BEO≌Rt△DFO（HL），
∴BE=DF，
由垂径定理得：AB=2BE，CD=2DF，
∴AB=CD，
∴弧AB=弧CD．

点评 本题考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．