Question

6．如图，已知抛物线$y=-\frac{1}{2}（x+1）（x-b）$（其中b＞1）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点D，且点D恰好在线段BC的垂直平分线上．
（1）求抛物线的关系式；
（2）过点M（1，0）的线段MN∥y轴，与BC交于点P，与抛物线交于点N．若点E是直线l上一点，且∠BED=∠MNB-∠ACO时，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线解析式求得点A、B、C的坐标，利用勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，再证明△AOC∽△COB，利用相似比求出b的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）连接CN，如图，抛物线的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，则D（$\frac{3}{2}$，0），易得N（1，3），再利用勾股定理的逆定理证明△BCN为直角三角形，∠CNB=90°，由于BM=MN=3，则∠MNB=∠MBN，则利用∠BED=∠MNB-∠ACO得到∠BED=∠CBN，所以Rt△BED∽Rt△CBN，然后利用相似比计算出DE，从而得到点E坐标．

解答 解：（1）当y=0时，-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-b）=0，解得x₁=-1，x₂=b，则A（-1，0）、B（b，0）；
当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-b）=$\frac{1}{2}$b，则C（0，$\frac{1}{2}$b），
∴AB²=（b+1）²=b²+2b+1，AC²=1+$\frac{{b}^{2}}{4}$，BC²=b²+$\frac{{b}^{2}}{4}$，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，
∵∠ACO+∠BCO=90°，∠BCO+∠CBO=90°，
∴∠ACO=∠CBO，
∴△AOC∽△COB，
∴OC：OB=OA：OC，即OC²=OA•OB，
∴（$\frac{1}{2}$b）²=1•b，解得b₁=4，b₂=0（舍去），
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4），即y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）连接CN，如图，抛物线的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，则D（$\frac{3}{2}$，0），
当x=1时，y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=3，则N（1，3），
∴CN²=1²+（3-2）²=2，CB²=2²+4²=20，BN²=（4-1）²+（3-0）²=18，
∴BC²=CN²+BN²，
∴△BCN为直角三角形，∠CNB=90°，
∵BM=MN=3，
∴∠MNB=∠MBN，
∵∠BED=∠MNB-∠ACO，
而∠ACO=∠CBO，
∴∠BED=∠MBN-∠CBO=∠CBN，
∴Rt△BED∽Rt△CBN，
∴$\frac{DE}{BN}$=$\frac{BD}{CN}$，即$\frac{DE}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{2}}$，
∴DE=$\frac{15}{2}$，
∴点E坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用勾股定理的逆定理证明直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．