题目内容

精英家教网已知：如图，抛物线y=x2+4x+m与x轴的负半轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），过A、C两点作直线AC．
（1）直接写出m的值及点A、B的坐标；
（2）点P是线段AC上一点，设△ABP、△BPC的面积分别为S1、S2，且S1：S2=2：3，求点P的坐标；
（3）①设⊙O′的半径为1，圆心O′在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙O′与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心O’的坐标；若不存在，请说明理由．
②探究：设⊙O′的半径为r，圆心O′在抛物线上运动，当r取何值时，⊙O′与两坐标轴都相切？
分析：（1）将点C的坐标代入，即可求得m的值和二次函数的解析式，再让y=0，解一元二次方程，即可得出点A、B的坐标；
（2）可得出直线AC的解析式，因为点P在线段AC上，设点P（x，x+3），S△ABP=
1
2
AB•|x+3|，S△BPC=S△ABC-S△ABP，从而求得点P的坐标；
（3）①：与坐标轴相切，则圆心在y=1，y=-1，x=-1或x=1三条直线上；②：与两坐标轴均相切，则圆心在y=-x或y=x上．
解答：解：（1）∵抛物线y=x2+4x+m与与y轴交于点C（0，3），∴m=3，
∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3，
令y=0，得x2+4x+3=0，
即得x=-1或-3，
∴A（-3，0），B（-1，0），

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴
-3k+b=0
b=3
，
即得b=3，k=1，
∴直线AC的解析式为y=x+3，
∵P在线段AC上，∴设点P（x，x+3），
∴S1=S△ABP=
1
2
AB•|x+3|=|x+3|，
S2=S△BPC=S△ABC-S△ABP
=
1
2
×2×3-
1
2
AB•|x+3|
=3-|x+3|，
∵S1：S2=2：3，
∴|x+3|：（3-|x+3|）=2：3，
∴|x+3|=
6
5
，
解得x=-
9
5
或-
21
5
，
∵P在线段AC上，∴-3＜x＜0，
∴舍去x=-
21
5
，
∴点P的坐标为（-
9
5
，
6
5
）；

（3）①⊙O′的半径为1，圆心在y=1上，解得x=-2±
2
；
圆心在y=-1上，解得x=-2；
圆心在x=1上，解得y=8；
圆心在x=-1上，解得y=0；
∴⊙O′的坐标为（-2，-1），（-2+
2
，1），（-2-
2
，1），（1，8），（-1，0）；
②）⊙O′的半径为r，与两坐标轴均相切，则圆心在y=-x或y=x上，
圆心在y=x上，无交点；
圆心在y=-x上，解得x=
-5±
13
2
，则r=
5±
13
2
，
∴当r=
5±
13
2
时，⊙O′与两坐标轴都相切．
点评：本题是一道中考压轴题，考查了抛物线解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．是一道难度较大的二次函数题，需注意分类讨论，全面考虑点O′所在位置的各种情况．难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．
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3
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5
-1
2
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5
≈2.236，
6
≈2.449，结果精确到0.001）
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