Question

5．如图，在平面直角坐标平面内，已知抛物线y=ax²（a＞0）上有两个点A、B它们的横坐标分别为-1，2，若△AOB为直角三角形，求a的值．

Answer 1

分析 分别用a表示出A、B两点的坐标，然后根据坐标系两点间距离公式求出OA、OB、AB的值，然后按∠AOB=90°、∠ABO=90°、∠BAO=90°三种情况，用勾股定理进行求解即可．

解答 解：由题意知：A（-1，a），B（2，4a）
∴AB²=9+9a²，OA²=1+a²，OB²=4+16a²
当∠AOB=90°时，AB²=OA²+OB²，即9+9a²=1+a²+4+16a²，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（负值舍去）；
当∠ABO=90°时，OA²=AB²+OB²，即1+a²=9+9a²+4+16a²，此方程无解；
当∠BAO=90°时，OB²=AB²+OA²，即4+16a²=9+9a²+1+a²，解得a=1（负值舍去）；
∴当△AOB是直角三角形时a的值为1或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查直角三角形的判定和二次函数的应用，要注意在三角形AOB的直角顶点不确定的情况下，要分类讨论，以免漏解．