Question

13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙O和AB相切于点P．
（1）求证：BP平分∠ABC；
（2）若PC=1，AP=3，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OP，首先证明OP∥BC，推出∠OPB=∠PBC，由OP=OB，推出∠OPB=∠OBP，由此推出∠PBC=∠OBP；
（2）作PH⊥AB于H．首先证明PC=PH=1，在Rt△APH中，求出AH，由△APH∽△ABC，推出$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AH}{AC}$，求出AB、BH，由Rt△PBC≌Rt△PBH，推出BC=BH即可解决问题；

解答 （1）证明：连接OP，
∵AC是⊙O的切线，
∴OP⊥AC，BC⊥AC，
∴OP∥BC，
∴∠OPB=∠PBC，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
∴∠PBC=∠OBP，
∴BP平分∠ABC．

（2）作PH⊥AB于H．
∵PB平分∠ABC，PC⊥BC，PH⊥AB，
∴PC=PH=1，
在Rt△APH中，AH=$\sqrt{A{P}^{2}-P{H}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵∠A=∠A，∠AHP=∠C=90°，
∴△APH∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AH}{AC}$，
∴$\frac{3}{AB}$=$\frac{2\sqrt{2}}{4}$，
∴AB=3$\sqrt{2}$，
∴BH=AB-AH=$\sqrt{2}$，
在Rt△PBC和Rt△PBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PB}\\{PC=PH}\end{array}\right.$，
∴Rt△PBC≌Rt△PBH，
∴BC=BH=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．