Question

3．已知：如图1，射线OP∥AE，∠AOP的角平分线角射线AE于点B．
（1）若∠A=50°，求∠ABO的度数；
（2）如图2，若点C在射线AE上，OB平分∠AOC交AE于点B，OD平分∠COP交AE于点D，∠ABO-∠AOB=70°，求∠ADO的度数；
（3）如图3，若∠A=α，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB₁，∠B₁OP的角平分线OB₂，…，∠B_n-1OP的角平分线OB_n，其中点B，B₁，B₂，…，B_n-1，B_n都在射线AE上，试求∠AB_nO的度数．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得出∠A=∠1=50°，根据平角的定义求得∠AOP=130°，根据角平分线的性质和平行线的性质求得∠ABO=∠2=65°；
（2）因为∠ABO=∠ACO+∠BOC，∠ABO-∠AOB=70°∠BOC=∠AOB，求得∠ACO=70°，根据平行线的性质求得∠COP=∠ACO=70°，进而即可求得∠ADO=35°．
（3）根据（1）（2）的规律即可求得．

解答 解：（1）如图1，∵OP∥AE，
∴∠A=∠1=50°，
∴∠AOP=130°，
∵∠2=∠AOB，
∴∠2=65°，
∴∠ABO=∠2=65°；
（2）如图2，∵∠ABO=∠ACO+∠BOC，∠ABO-∠AOB=70°
∴∠ACO+∠BOC-∠AOB=70°，
∵∠BOC=∠AOB，
∴∠ACO=70°，
∵OP∥AE，
∴∠COP=∠ACO=70°，∠POD=∠ADO，
∵∠POD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠COP=35°
∴∠ADO=35°．
（3）如图3，由（1）可知，∠ABO=$\frac{1}{2}$（180°-α），∠AB₁O=$\frac{1}{2}$（180°-∠OBB₁）=$\frac{1}{2}$∠ABO=$\frac{1}{4}$（180°-α），∠AB₂O=$\frac{1}{8}$（180°-α），…
则∠AB_nO=$\frac{180°-α}{{2}^{n+1}}$．

点评 本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．