Question

阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式

-x4-x2+3

-x2+1

拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为-x²+1，可设-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b，则-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b=-x⁴-ax²+x²+a+b=-x⁴-（a-1）x²+（a+b）．
∵对应任意x，上述等式均成立．
∴

a-1=1 a+b=3

∴a=2，b=1．
∴

-x4-x2+3

-x2+1

=

(-x2+1)(x2+2)+1

-x2+1

=

(-x2+1)(x2+2)

-x2+1

+

1

-x2+1

=x²+2+

1

-x2+1

．
这样，分式

-x4-x2+3

-x2+1

被拆分成了一个整式x²+2与一个分式

1

-x2+1

的和．
解答：
（1）将分式

-x4-x2+3

-x2+1

拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（2）当-1＜x＜1时，求

-x4-x2+3

-x2+1

的最小值．

Answer 1

考点：分式的混合运算

专题：阅读型

分析：（1）利用材料中所给的知识求解即可；
（2）利用二次函数的最大与最小值求解即可．

解答：解：（1）由分母为-x²+1，可设-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b，则-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b=-x⁴-ax²+x²+a+b=-x⁴-（a-1）x²+（a+b）．
∵对应任意x，上述等式均成立．
∴

a-1=1 a+b=3

，
∴a=2，b=1．
∴

-x4-x2+3

-x2+1

=

(-x2+1)(x2+2)+1

-x2+1

=

(-x2+1)(x2+2)

-x2+1

+

1

-x2+1

=x²+2+

1

-x2+1

；
这样，分式

-x4-x2+3

-x2+1

被拆分成了一个整式x²+2与一个分式

1

-x2+1

的和；

（2）当-1＜x＜1时，x=0时

-x4-x2+3

-x2+1

的最小值，
即x²+2+

1

-x2+1

=0+2+1=3．

点评：本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是理解材料中所给的知识．