Question

3．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．点D从C点出发沿射线CA以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点E从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动，当点E到达B点时D、E都停止运动．点M是DE的中点，直线MN⊥DE交直线BC于点N，点M′与M点关于直线BC对称．点D、E的运动时间为t（秒）．
（1）当t=1时，AD=2，△ADE的面积为$\frac{4}{5}$；
（2）设四边形BCDE的面积为S，当0＜t＜3时，求S与t的函数关系式；
（3）当直线MN与△ABC的一边垂直时，求t的值；
（4）当△MNM′为等腰直角三角形时，直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）由点D的速度得出CD为1，得出AD=3-1=2，得出△ADE的面积即可；
（2）根据四边形BCDE的面积=△ABC的面积-△ADE的面积列出关系式即可；
（3）根据直线MN与△ABC的一边垂直满足的条件，解答即可；
（4）根据△MNM′为等腰直角三角形满足的条件计算即可．

解答 解：（1）∵点D从C点出发沿射线CA以每秒1个单位长度的速度匀速运动，
∴当t=1时，CD=1，
∴AD=AC-CD=3-1=2，
同理可得AE=1，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴sin∠A=$\frac{4}{5}$，
∴△ADE的面积=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{4}{5}$=$\frac{4}{5}$；
故答案为：2；$\frac{4}{5}$；
（2）设四边形BCDE的面积为S，
当0＜t＜3时，四边形BCDE的面积=△ABC的面积-△ADE的面积
=$\frac{1}{2}×3×4-\frac{1}{2}×\frac{4}{5}×t×（3-t）$
=6-$\frac{2}{5}t（3-t）$，
可得S与t的函数关系式是：S=6-$\frac{2}{5}$t（3-t）；
（3）当直线MN与△ABC的一边垂直时，
应该满足t：（3-t）=5：3
解得：t=$\frac{15}{8}$；
（4）当∠EDA=45°时，△MNM′为等腰直角三角形．
$3-t-\frac{3}{5}t=\frac{4}{5}t$，
解得：t=$\frac{5}{4}$．

点评 此题主要考查了四边形的动点问题，等腰三角形的性质以及三角形的面积计算是中考中重点内容，同学们应熟练掌握并应用．