如图.已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A两点.与y轴交于点N.其顶点为D．(1)求抛物线及直线AC的函数关系式．.求使MN+MD的值最小时m的值．(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B.E为直线AC上的任意一点.过点E作EF∥BD交抛物线于点F.以B.D.E.F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能.求点E的坐标,若不能.请说明理由．(4)若点P在抛物线上.且△APC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图，已知抛物线y=x²+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，-3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式．
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值．
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．
（4）若点P在抛物线上，且△APC的面积为3，直接写出点P的坐标．

分析（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；
（2）根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小；
（3）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；
（4）过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1．设Q（x，x+1），则P（x，-x²+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=-x²+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式建立方程即可．

解答解：（1）由抛物线y=-x²+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3）得，
$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故抛物线为y=-x²+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A（-1，0）及C（2，3）得$\left\{\begin{array}{l}{-k+n=0}\\{2k+n=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
故直线AC为y=x+1故直线AC为y=x+1；

（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
故直线DN′的函数关系式为y=-$\frac{1}{5}$x+$\frac{21}{5}$，
当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
则m=-$\frac{1}{5}$×3+$\frac{21}{5}$=$\frac{18}{5}$；

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），
∵点E在直线AC上，
设E（x，x+1），
①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，
则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3=-x²+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去）
∴E（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，
则F（x，x-1）
由F在抛物线上
∴x-1=-x²+2x+3
解得x=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$或x=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，
∴E（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）
综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）

（4）如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，-x²+2x+3）
∴PQ=（-x²+2x+3）-（x+1）
=-x²+x+2
又∵S_△APC=S_△APQ+S_△CPQ
=$\frac{1}{2}$PQ•AG
=$\frac{1}{2}$（-x²+x+2）×3
∵△APC的面积为3，
∴$\frac{1}{2}$（-x²+x+2）×3=3
∴x=-1或x=2，
∴P（-1，0）或（2，3）．