Question

7．如图1，已知抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+bx+c经过点A（3，0），点B（-1，0），与y轴负半轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形的面积等于△ABC的面积的$\frac{3}{2}$倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，直线BC与抛物线的对称轴交于点K，将直线AC绕点C按顺时针方向旋转α°，直线AC在旋转过程中的对应直线A′C与抛物线的另一个交点为M．求在旋转过程中△MCK为等腰三角形时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）知道A、B两点坐标后，利用待定系数法可确定该抛物线的解析式．
（2）此题中，以A、B、C、P为顶点的四边形可分作两部分，若该四边形的面积是△ABC面积的1.5倍，那么四边形中除△ABC以外部分的面积应是△ABC面积的一半，分三种情况：
①当点P在x轴上方时，△ABP的面积应该是△ABC面积的一半，因此点P的纵坐标应该是点C纵坐标绝对值的一半，代入抛物线解析式中即可确定点P的坐标；
②当点P在B、C段时，显然△BPC的面积要远小于△ABC面积的一半，此种情况不予考虑；
③当点P在A、C段时，由A、C的长以及△ACP的面积可求出点P到直线AC的距离，首先在射线CK上取线段CD，使得CD的长等于点P到直线AC的距离，先求出过点D且平行于l₁的直线解析式，这条直线与抛物线的交点即为符合条件的点P．
（3）从题干的旋转条件来看，直线l₁旋转的范围应该是直线AC、直线BC中间的部分，而△MCK的腰和底并不明确，所以分情况讨论：①CK=CM、②KC=KM、③MC=MK；求出点M的坐标．

解答 解：（1）如答图1，∵点A（3，0），点B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3\sqrt{3}+3b+c=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{3}-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{c=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
则该抛物线的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$；

（2）易知OA=3、OB=1、OC=$\sqrt{3}$，则：S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
①当点P在x轴上方时，由题意知：S_△ABP=$\frac{1}{2}$S_△ABC，则：
点P到x轴的距离等于点C到x轴距离的一半，即 点P的纵坐标为$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
令y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，化简得：2x²-4x-9=0
解得 x=$\frac{2±\sqrt{22}}{2}$；
∴P₁（$\frac{2-\sqrt{22}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）、P₂（$\frac{2+\sqrt{22}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
②当点P在抛物线的B、C段时，显然△BCP的面积要小于$\frac{1}{2}$S_△ABC，此种情况不合题意；
③当点P在抛物线的A、C段时，S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC•h=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\sqrt{3}$，则h=1；
在射线CK上取点D，使得CD=h=1，过点D作直线DE∥l₁，交y轴于点E，如答图2；
在Rt△CDE中，∠ECD=∠BCO=30°，CD=1，则CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$、OE=OC+CE=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，点E（0，-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）
∴直线DE：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，联立抛物线的解析式，有：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{5\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=-\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴P₃（1，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）、P₄（2，-$\sqrt{3}$）；
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（$\frac{2-\sqrt{22}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）、（$\frac{2+\sqrt{22}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）、（1，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）、（2，-$\sqrt{3}$）．

（3）如答图3，由（1）知：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1）²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴抛物线的对称轴 x=1；
①当KC=KM时，点C、M₁关于抛物线的对称轴x=1对称，则点M₁的坐标是（2，-$\sqrt{3}$）；
②KC=CM时，K（1，-2$\sqrt{3}$），KC=BC．则直线A′C与抛物线的另一交点M₂与点B重合，M、C、K三点共线，不能构成三角形；
③当MK=MC时，D（1，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），KD=DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即点D是KE的中点．
∵∠OCA=60°，∠BCO=30°，
∴∠BCA=90°，即BC⊥AC，则作线段KC的中垂线l必平行AC且过点D，
∴点M₃与点D重合，即M₃（1，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．
综上所述，点M的坐标是（2，-$\sqrt{3}$）或（1，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．
（注：计算相关线段的长度可利用坐标或∠BAC=30°）．

点评 该题考查了利用待定系数法确定函数解析式，图形面积的解法以及等腰三角形的判定和性质等重点知识；后两题涉及的情况较多，应分类进行讨论，容易漏解．