Question

1．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）k取何值时？△ABC为等腰三角形．
（2）k取何值时？△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先解方程可得x₁=k+1，x₂=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜边，那么有（k+1）²+（k+2）²=5²，易求k，结合实际意义可求k的值；
（2）由（1）得x₁=k+1，x₂=k+2，若△ABC是等腰三角形，则x₁=BC或x₂=BC，易求k=4或3．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰三角形，
∴当AB=AC时，△=b²-4ac=0，
∴（2k+3）²-4（k²+3k+2）=0，
解得k不存在；
当AB=BC时，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，5AC=k²+3k+2，
解得k=3或4；

（2）①如果AB=AC，△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=0
4k²+12k+9-4k²-12k-8=1≠0，
不可能是等腰三角形．
②如果AB=5，或者AC=5
x₁=5，5²-（2k+3）×5+k²+3k+2=0
k²-7k+12=0
（k-4）（k-3）=0
解得：k=4或者k=3，
k=4时：
x²-11x+30=0
（x-5）（x-6）=0，
∴AB=5，AC=6，符合题意；
k=3时：
x²-9x+20=0
（x-4）（x-5）=0，
∴AB=4，AC=5，符合题意．

点评 本题考查了一元二次方程的解法，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，根的判别式，利用分类讨论是解题的关键．