题目内容
11．如图，在边长为4的等边△ABC中，点D从点A开始在射线AB上运动，速度为1个单位/秒，点F同时从C出发，以相同的速度沿射线BC方向运动，过点D作DE⊥AC，连结DF交射线AC于点G．（1）当DF⊥AB时，求t的值；
（2）当点D在线段AB上运动时，是否始终有DG=GF？若成立，请说明理由．
（3）小明通过测量发现，当点D在线段AB上时，EG的长始终等于AC的一半，他想当点D运动到图2的情况时，EG的长是否发生变化？若改变，说明理由；若不变，求出EG的长．
分析 （1）设AD=x，则BD=4-x，BF=4+x．当DF⊥AB时，通过解直角△BDF求得x的值，易得t的值；
（2）如图1，过点D作DH∥BC交AC于点H，构建全等三角形：△DHG≌△FCG，结合全等三角形的对应边相等的性质和图中相关线段间的和差关系求得DG=GF；
（3）过F作FH⊥AC，可证△ADE≌△CFH，得DE=FH，AC=EH，再证△GDE≌△GFH，可得EG=GH，即可解题．
解答 
解：（1）设AD=x，则BD=4-x，BF=4+x．
当DF⊥AB时，∵∠B=60°，
∴∠DFB=30°，
∴BF=2BD，即4+x=2（4-x），
解得x=$\frac{4}{3}$，
故t=$\frac{4}{3}$
（2）如图1，过点D作DH∥BC交AC于点H，则∠DHG=∠FCG．
∵△ABC是等边三角形，
∴△ADH是等边三角形，
∴AD=DH．
又AD=CF，
∴DH=FC．
∵在△DHG与△FCG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DGH=∠FGC}\\{∠DHG=∠FCG}\\{DH=FC}\end{array}\right.$，
∴△DHG≌△FCG（AAS），
∴DG=GF；
（3）过F作FH⊥AC，
在△ADE和△CFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠FHC=90°}\\{∠A=∠FCH}\\{AD=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFH（AAS），
∴DE=FH，AE=CH，
∴AC=EH，
在△GDE和△GFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEG=∠FHG}\\{∠DGE=∠FGH}\\{DE=FH}\end{array}\right.$，
∴△GDE≌△GFH（AAS），
∴EG=GH，
∴EG=$\frac{1}{2}$EH=$\frac{1}{2}$AC．
点评 本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证GDE≌△GFH是解题的关键．
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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点D、E分别是边BC、AC上的点，且∠EDC=∠A，将△ABC沿DE翻折，若点C恰好落在边AB上，则 DE的长为$\frac{125}{48}$．
如图，△ABC中，∠B=2∠C，将其沿AD折叠，使点B落在边AC上的点E处，则图中与BD相等的两条线段分别是EC和DE．
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，⊙O分别交AC、BC于点E、D，连结ED、BE．
如图，把一张等腰直角三角形纸片ABD和一张等边三角形纸片ABC叠在一起（等腰直角三角形的斜边等于等边三角形的边长）若AB=2$\sqrt{3}$，则CD=3-$\sqrt{3}$．