Question

5．如图，已知，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D．
（1）求证：△ADB∽△BDC；
（2）若BC=5cm，BD=4cm，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的两锐角互余和垂直的定义得出∠A=∠CBD，∠ABD=∠C即可；
（2）先利用勾股定理求出CD，在用相似三角形得出比利式，求出AD即可；

解答 证明：（1）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
 所以∠A+∠C=90°，
又因为    BD⊥AC
所以∠ADB=∠CDB=90°，
∠A+∠ABD=90°，∠C+∠CBD=90°，
所以∠A=∠CBD，∠ABD=∠C
所以△ADB∽△BDC
解：（2）在Rt△BDC中，BC=5cm，BD=4cm
根据勾股定理，得CD=3cm  
由（1）知△ADB∽△BDC
所以     $\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}$
即    AD=$\frac{B{D}^{2}}{CD}=\frac{16}{3}$（cm ） 
所以  AC=AD+CD=$\frac{16}{3}+3=\frac{25}{3}$（cm ）．

点评 此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了同角的余角相等，垂直的定义，勾股定理，解本题的关键是判断出∠A=∠CBD，∠ABD=∠C．