Question

在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内一点，连接OP，过点O作OQ⊥OP，连接PQ，交y轴于点M，作PA⊥y轴于点A，OB垂直x轴于点B，P（4，4

3

），OQ=4．
（1）求∠POA的度数；
（2）求点Q的坐标；
（3）求点A到直线PQ的距离．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由P（4，4

3

），就可以得出PA=4，PB=4

3

，由矩形的性质就可以得出AO=4

3

，得出tan∠POA=

3

3

，进而就可以求出∠POA的度数；
（2）作EQ⊥x轴于点E，由∠POA的度数就可以求出∠AOQ的度数，进而得出∠EOQ的度数，由勾股定理就可以求出结论；
（3）设直线PQ的解析式为y=kx+b，由待定系数法就可以求出解析式，当x=0时就可以求出D的纵坐标，得出OD的值，进而得出AD的值由勾股定理就可以求出PD的值，作AC⊥PD于点C，由三角形的面积公式建立方程求出其解即可．

解答：解：∵OQ⊥OP，PA⊥y轴，OB⊥x轴，
∴∠POQ=∠PAO=∠PBO=90°．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠PAO=∠PBO=90°，
∴四边形AOBP是矩形．
∴AO=PB，AP=BO．
∵P（4，4

3

），
∴AP=4，BP=AO=4

3

．
∵tan∠AOP=

AP

AO

=

4

4 3

=

3

3

，
∴∠AOP=30°．
答：∠AOP=30°；
（2）作EQ⊥x轴于点E，
∴∠QEO=90°．
∵∠AOP=30°，
∴∠AOQ=60°，
∴∠QOE=30°，
∴QE=

1

2

QO．
∵QO=4，
∴QE=2，
在Rt△QEO中，由勾股定理，得
EO=2

3

．
∴Q（-2

3

，2）；
（3）设直线PQ的解析式为y=kx+b，由题意，得

2=-2 3 k+b 4 3 =4k+b

解得：

k=5 3 -8 b=30-16 3

，
∴y=（5

3

-8）x+30-16

3

，
当x=0时，y=30-16

3

，
∴OD=30-16

3

，
∴AD=20

3

-30．
由勾股定理，得
PD=2

521-300 3

．
作AC⊥PD于点C，
∴

2 521-300 3 AC

2

=

4(20 3 -30)

2

，
解得：AC=

(40 3 -60) 521-300 3

521-300 3

．
答：点A到直线PQ的距离为：

(40 3 -60) 521-300 3

521-300 3

．

点评：本题考查了矩形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，点到直线的意义的理解，解答时求出函数的解析式是关键．