Question

7．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，且过点D的⊙O的切线DE平分BC边，交BC于E．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）当∠A=∠C时，四边形OBED是正方形；
（3）连接OE，则四边形AOED不可能（填“可能”或“不可能”）为菱形．

Answer 1

分析 （1）要证BC是⊙O的切线，就要证OB⊥BC，只要证∠OBE=90°即可，首先作辅助线，连接OD、OE，由已知得OE为△ABC的中位线，OE∥AC，从而证得△ODE≌△OBE，推出∠ODE=∠OBE，又DE是⊙O的切线，所以得∠OBE=90°，即OB⊥BC，得证．
（2）由题意使四边形OBED是正方形，即得到OD=BE，又由已知BE=CE，BC=2BE，AB=2OD，所以AB=BC，即△ABC为等腰三角形，进而得出以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形；
（3）直接利用等边三角形的性质结合菱形的判定方法进而得出答案．

解答 （1）证明：连接OD、OE，
∵O为AB的中点，E为BC的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥AC（三角形中位线性质），
∴∠DOE=∠ODA，∠BOE=∠A（平行线性质），
∵OA=OD
∴∠A=∠ODA
∴∠DOE=∠BOE（等量代换）
在△ODE和△OBE中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠DOE=∠BOE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△OBE（SSS）
∴∠ODE=∠OBE
∵DE是⊙O的切线
∴∠ODE=∠OBE=90°
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线．

（2）解：当∠A=∠C时，四边形OBDE是正方形，
证明如下：
如图2，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AC（直径所对的圆周角为直角），
∵∠A=∠C，
∴AB=BC，
∴D为AC的中点（等腰三角形的性质），
∵E为BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴OD⊥AB，
∴∠DOB=∠OBE=∠ODE=90°，
∵OD=OB，
∴四边形OBED为正方形．
故答案为：∠C；

（3）解：如图3，连接EO，
当△ABC是等腰直角三角形，则DE为△ABC的中位线，
DE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，
∴四边形AOED是平行四边形，
∵OE＞AO，
∴四边形AOED不可能是菱形．
故答案为：不可能．

点评 此题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定性质、圆周角定理的综合运用．解题的关键是通过作辅助线证明三角形全等，得到∠OBE=90°，即OB⊥BC得出结论．