Question

8．如图，二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），经过点B（6，8），与y轴交于点A．
（1）求该二次函数的关系式与直线AB的关系式；
（2）P为线段AB上一动点（A、B两端点除外），过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q，设线段PQ的长为1，点P的横坐标为m，求出1与m之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式；
（2）先根据解析式表示出P和Q的坐标，根据m的取值可知：PQ的值等于Q的纵坐标-P的纵坐标或P的纵坐标-Q的纵坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-2）²，
把B（6，8）代入得：8=a（6-2）²，
a=$\frac{1}{2}$，
∴二次函数的关系式为：y=$\frac{1}{2}$（x-2）²，
当x=0时，y=$\frac{1}{2}$（0-2）²=2，
∴A（0，2），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把A（0，2）、B（6，8）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{6k+b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=x+2；
（2）由题意得：P（m，m+2），Q[m，$\frac{1}{2}$（m-2）²]，
如图1，当0＜m＜6时，PQ=l=m+2-$\frac{1}{2}$（m-2）²=$\frac{1}{2}{m}^{2}+3m$，
如图2，当m＜0时，PQ=l=$\frac{1}{2}$（m-2）²-（m+2）=$\frac{1}{2}{m}^{2}-3m$，
如图3，当m＞6时，PQ=l=$\frac{1}{2}$（m-2）²-（m+2）=$\frac{1}{2}{m}^{2}-3m$，
综上所述，1与m之间的函数关系式为：
l=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{m}^{2}+3m（0＜m＜6）}\\{\frac{1}{2}{m}^{2}-3m（m＜0或m＞6）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式及二次函数图象的性质，求某一铅直线段的长时，可利用纵坐标的差来求．