Question

如图，已知点点C在y轴的正半轴上，且抛物线经过三点，其顶点为.
求抛物线的解析式；
(1)求抛物线的解析式
(2)试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；
(3)在抛物线上是否存在点N，使得?如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵
∴ ∽∴，即
又∵ ∴， ∴
∵抛物线过点
∴可设此抛物线为，于是
代入得 ∴
∴，即
（2）∵
∴以AB为直径的圆的直径为AB，
又∵
∴以AB为直径的圆的圆心为
∵
∴此抛物线的顶点为
又∵
∴中
∴
∴  
∴直线CM与以AB为直径的圆相交。
（3）抛物线上存在点N，使得，这样的点有3个；理由为：
∵，∴直线为，即
∵  ∴
于是可设与直线平行且距离为的直线为，则：
，即，∴
∴所设直线为或，
∴由得
∴由知又两个不同的实数解，
由得
∴由知又两个相同的实数解，
故：物线上存在点N，使得，这样的点有3个。