Question

13．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，0B，OC，OD的中点，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．

Answer 1

分析 根据三角形中位线定理得到A′B′∥AB，A′B′=$\frac{1}{2}$AB，证明两个多边形的对应角相等，对应边的比相等即可．

解答 解：∵A′，B′分别是OA，0B的中点，
∴A′B′∥AB，A′B′=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠OA′B′=∠OAB，$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
同理，∠OA′D′=∠OAD，$\frac{A′D′}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠B′A′D′=∠BAD，$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{A′D′}{AD}$，
同理，∠B′A′D′=∠BAD，∠A′D′C′=∠ADC，∠D′C′B′=∠DCB，∠C′B′A′=∠CBA，
$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{A′D′}{AD}$=$\frac{D′C′}{DC}$=$\frac{B′C′}{BC}$，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．

点评 本题考查的是相似多边形的判定，掌握对应角相等，对应边的比相等的两个多边形相似是解题的关键．