Question

2．如图是二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，有下列结论：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＜0；④a-2b+4c＞0；⑤a=$\frac{3}{2}$b．其中正确的有（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴得到b=$\frac{2}{3}$a＜0，则可对①进行判断；由x=1时函数值为负数，可对②进行判断；由b=$\frac{2}{3}$a，得到a=$\frac{3}{2}$b，则可对⑤进行判断；由x=-1时，a-b+c＞0，和a=$\frac{3}{2}$b得到b+2c＞0，则可对③进行判断；由x=-$\frac{1}{2}$时，y＞0，可对④进行判断．

解答 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{1}{3}$，
∴b=$\frac{2}{3}$a＜0，
∴ab＞0，所以①正确；
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵b=$\frac{2}{3}$a，
∴a=$\frac{3}{2}$b，所以⑤正确；
而a=-1时，y＞0，即a-b+c＞0，
∴$\frac{3}{2}$b-b+c＞0，
∴b+2c＞0，所以③错误；
∵x=-$\frac{1}{2}$时，y＞0，
∴$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$b+c＞0，
∴a-2b+4c＞0，所以④正确．
所以①②④⑤均正确，共4个，
故选D．

点评 本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．