Question

矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（0，3），直线与BC边相交于点D。

（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的函数表达式；
（3）若P为x轴上方（2）中抛物线上一点，求△POA面积的最大值；
（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的Q点的坐标。

Answer 1

解：（1）直线与BC交于点D（x，3）， 把y=3代入中得，x=4， ∴D（4，3）。 （2）∵抛物线y=ax2+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点， 把x=4，y=3；x=6，y=0分别代入y=ax2+bx中得， ，解得：， ∴抛物线的解析式为：。 （3）因△POA底边OA=6， ∴当S△POA有最大值时，点P须位于抛物线的最高点， ∵<0， ∴抛物线顶点恰为最高点， ∵， ∴的最大值为。
（4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件， ∵CB∥OA，∠Q1OM=∠CDO， ∴Rt△Q1OM∽Rt△CDO， ∵，该点坐标为Q1（3，0）， 过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点Q2， ∵对称轴平行于y轴， ∴∠Q2MO=∠DOC，  ∴Rt△Q2MO∽Rt△DOC， 在Rt△Q2Q1O和Rt△DCO中， Q1O=CO=3，∠Q2=∠ODC， ∴Rt△Q2Q1O≌Rt△DCO， ∴CD=Q1Q2=4， ∵点Q2位于第四象限， ∴Q2（3，-4）， 因此，符合条件的点有两个， 分别是Q1（3，0），Q2（3，-4）。