Question

16．如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且BD、CE交于点F，点G是线段CD上一点，连接AF、GF，若AF=GF，BD=CD．
（1）求∠CAF的度数；
（2）判断线段FG与BC的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据ASA证明△ABD≌△FCD，得AD=DF，则△ADF是等腰直角三角形，所以∠CAF=45°；
（2）FG∥BC，理由是：证明∠FGA=∠DCB，根据同位角相等，两直线平行得出结论．

解答 解：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEF=∠CDF=90°，
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠EBF=∠FCD，
∵BD=CD，∠ADB=∠CDF，
∴△ABD≌△FCD，
∴AD=DF，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF=45°；
（2）FG∥BC，理由是：
∵AF=FG，
∴∠FGA=∠CAF=45°，
∵BD⊥AC，BD=CD，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=45°，
∴∠FGA=∠DCB，
∴FG∥BC．

点评 本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等的四种判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA，另外可以利用证明一个三角形是等腰直角三角形，从而求出角的度数为45°．