Question

6．已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象过第二象限内的点A（-2，m），AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3，若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上另一点C（n，-$\frac{3}{2}$），
（1）求m，n的值及反比例函数的解析式；
（2）求直线y=ax+b的解析式；
（3）求△AOC的面积；
（4）根据图象回答：当x为何值时，反比例函数的函数值大于一次函数的函数值？

Answer 1

分析 （1）根据△AOB的面积求出点A坐标，再利用待定系数法求出m，n即可解决问题．
（2）把A、C两点代入y=ax+b，列出方程组解决问题．
（3）求出直线与x轴的交点M，根据S_△AOC=S_△AOM+S_△OMC即可解决问题．
（4）根据反比例函数图象在上方，即可写出x的取值范围．

解答 解：（1）∵Rt△AOB面积为3，A（-2，m），
∴$\frac{1}{2}$×2×m=3，
∴m=3，
∴点A（-2，3），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$经过点A（-2，3），
∴k=-6，
∵点C（n，-$\frac{3}{2}$）在y=$\frac{-6}{x}$上，
∴n=4，
∴m=3，n=4，反比例函数解析式为y=-$\frac{6}{x}$．

（2）∵y=ax+b经过点A（-2.3），C（4，-$\frac{3}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b=3}\\{4a+b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$．

（3）∵直线的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$与x轴交于点M（2，0），
∴S_△AOC=S_△AOM+S_△OMC=$\frac{1}{2}$×2×3+$\frac{1}{2}$×2×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$．

（4）反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时，-2＜x＜0或x＞4．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的图象的交点问题．待定系数法．三角形的面积等知识，解题的关键是熟练应用待定系数法确定函数解析式，属于中考常考题型．