Question

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点、点A在点B的左侧，它的顶点D（1，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设F为抛物线对称轴上一点，纵坐标为m，求BF的长l与m之间的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点G，使以O、B、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的顶点坐标为（1，-4）可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2}=1}\\{\frac{4c-{b}^{2}}{4}=-4}\end{array}\right.$，解之求出b、c的值即可；
（2）根据勾股定理可得l关于m的函数解析式；
（3）利用平行四边形的性质结合图形得出若以OB为一边以及以OB为对角线时，分别得出G点坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为（1，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2}=1}\\{\frac{4c-{b}^{2}}{4}=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3；

（2）令y=0得x²-2x-3=0，
解得：x=-1或x=3，
即点A（-1，0）、点B（3，0），

由题意知点F坐标为（1，m），
即FC=|m|，BC=2，
则BF的长l=$\sqrt{{2}^{2}+{m}^{2}}$，即l=$\sqrt{{m}^{2}+4}$；

（3）①若O、B、F、G为顶点的四边形是以OB为边的平行四边形，
设F（1，y₀），则G（x₀，y₀），
又∵FG=|x₀-1|，OB=3，
∴FG=OB，即|x₀-1|=3，
解得：x₀=-2或4，
∴G₁（-2，5）、G₂（4，5）；
②若O、B、F、G为顶点的四边形是以OB为对角线的平行四边形，
过点G作GD⊥OB于点D，
∴∠FCO=∠GDB=90°，
∵四边形OFBG为平行四边形，
∴OF∥BG，且OF=BG，
∴∠FOC=∠GBD，
在△FOC和△GBD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠FOC=∠GBD}\\{∠FCO=∠GDB}\\{FO=GB}\end{array}\right.$，
∴△FOC≌△GBD（AAS），
∴OC=BD=1，
∴OD=2，
当x=2时，y=-3，
即点G（2，-3），
综上，点G的坐标为G（-2，5）或G（4，5）或（2，-3）．

点评 此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质与判定等知识，根据已知结合图形以及利用分类讨论思想得出是解题关键．