题目内容

已知：如图，斜坡PQ的坡度i=1： $数学公式$ ，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，以O点为原点，OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B，最高点为C．
（1）写出A点的坐标及直线PQ的解析式；
（2）求此抛物线AMC的解析式；
（3）求|x_C-x_B|；
（4）求B点与C点间的距离．

解：（1）过点C作CD⊥x轴一点D，
∵在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，
∴A点的坐标为：A（0，1），
∵斜坡PQ的坡度i=1： $\text{[math]}$ ，
∴设C点横坐标为x，则纵坐标为： $\text{[math]}$ x，
∴直线PQ的解析式为： $\text{[math]}$ ；

（2）过点M作MN⊥x轴于点N，作AF⊥MN于点F，连接AM，
∵水流最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，
∴MF=1，MN=2，AM=2，则AF= $\text{[math]}$ ，
∴M点坐标为：（ $\text{[math]}$ ，2），代入y=a（x- $\text{[math]}$ ） ²+2，
再将（0，1）代入上式得：
1=a（0- $\text{[math]}$ ） ²+2，
解得：a=- $\text{[math]}$ ，
此抛物线AMC的解析式为：y=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ） ²+2=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+1；

（3）将直线PQ的解析式： $\text{[math]}$ ，以及抛物线AMC的解析式：y=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ） ²+2=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+1联立：
$\text{[math]}$ x=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+1，
整理得出：x²- $\text{[math]}$ x-3=0，
解得：x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，
故C点横坐标为： $\text{[math]}$ ，B点横坐标为： $\text{[math]}$ ，
∴|x_C-x_B|= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （m）；

（4）过点B作BH⊥CD于点H，
∵斜坡PQ的坡度i=1： $\text{[math]}$ ，
∴tan∠CBH= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠CBH=30°，
∵|x_C-x_B|=BH= $\text{[math]}$ ，
∴BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ （m）．
分析：（1）利用AO长度得出A点坐标即可，再利用斜坡PQ的坡度i=1： $\text{[math]}$ ，求出直线PQ的解析式；
（2）首先根据已知得出M点坐标，进而利用顶点式求出二次函数解析式即可；
（3）将直线PQ的解析式： $\text{[math]}$ ，以及抛物线AMC的解析式：y=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ） ²+2=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+1联立，求出B，C点的横坐标进而得出|x_C-x_B|的值；
（4）构造直角三角形，利用BC= $\text{[math]}$ 求出即可．
点评：本题考查了二次函数的应用以及坡度问题和解直角三角形的应用等知识，正确构造出直角三角形是解题关键．