Question

12．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做损矩形的直径．
（1）识图：如图（1），损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径线段为AC．
（2）探究：
①在损矩形ABCD内是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；线段AC的中点
②直接写出你所探究出的损矩形ABCD的两条性质（不能再添加任何线段或点）
性质1：ABCD是圆内接四边形；性质2：∠ADB=∠ACB．
③如图（2），三条线段a、b、c．求作相邻三条长顺次为a、b、c的损矩形ABCD．（尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）

Answer 1

分析 （1）由损矩形的直径的定义即可得到答案；
（2）①由∠ADC=∠ABC=90°可判定A，B，C，D四点共圆，易得圆心是线段AC的中点；
②由圆周角定理可得性质；
③首先画线段AB=a，再以A为圆心，b长为半径画弧，再以B为圆心，c长为半径画弧，过点B作直线与以B为圆心的弧相交与点C，连接AC，以AC的中点为圆心，$\frac{1}{2}$AC为半径画弧，与以点A为圆心的弧交于点D，连接AD、DC，BC即可得到所求图形．

解答 解：（1）由定义知，线段AC是该损矩形的直径，
故答案为：AC；
                             
（2）①∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴在损矩形ABCD内存在点O，
使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一个圆上，
O是线段AC的中点，
故答案为：线段AC的中点；              
 ②由①知，ABCD是圆内接四边形，
由圆周角定理得，∠ADB=∠ACB，
故答案为：ABCD是圆内接四边形；，∠ADB=∠ACB；                    
③如图，AB=a，AD=b，BC=c，
四边形ABCD即为所求．

点评 本题主要考查了对新定义的理解，理解损矩形的性质和定义是解答此题的关键．