Question

20．如图，等腰直角△ABC的直角边长为3，P为斜边BC上的一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=45度，则以PA为边的正方形的面积为（　　）

• A． 10-3$\sqrt{2}$
• B． 10-2$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 根据已知条件得到BC=3$\sqrt{2}$，∠C=∠B=45°，求得∠PDC+∠DPC=135°，得到∠APB=∠PDC，推出△APB∽△PDC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$，求得CD=$\frac{3\sqrt{2}-1}{3}$，得到AD=$\frac{10-3\sqrt{2}}{3}$，通过△PAD∽△CAP，根据相似三角形的性质得到$\frac{PA}{AC}=\frac{AD}{PA}$，即可得到结论．

解答 解：∵△ABC是等腰直角三角形，直角边AB=AC=3，
∴由勾股定理得：BC=3$\sqrt{2}$，
∠C=∠B=45°，
∴∠PDC+∠DPC=135°，
∵∠APD=45°，
∴∠APB+∠DPC=135°，
∴∠APB=∠PDC，
∵∠B=∠C，
∴△APB∽△PDC，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$，
∴$\frac{3}{3\sqrt{2}-1}$=$\frac{1}{CD}$，
∴CD=$\frac{3\sqrt{2}-1}{3}$，
∴AD=$\frac{10-3\sqrt{2}}{3}$，
∵∠APD=∠C=45°，∠PAD=∠CAP，
∴△PAD∽△CAP，
∴$\frac{PA}{AC}=\frac{AD}{PA}$，
∴PA²=AC•AD=10-3$\sqrt{2}$，
∴以PA为边的正方形的面积为：10-3$\sqrt{2}$．
故选A．

点评 本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．