题目内容
（2012•南岗区二模）在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点M的坐标为（4，3），以M为圆心，以M0为半径作⊙M，分
别交x轴、y轴于B、A两点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点P（x，0）为x轴正半轴上一点，过点P作x轴的垂线，分别交直线AB、线段OM于点D、E，过点E作y轴的垂线交直线AB于点F．设线段DF的长为y（y＞0），求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在x的值，使得经过D、E、M三点的圆与△AOB三边中某一边所在的直线相切？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
别交x轴、y轴于B、A两点．（1）求直线AB的解析式；
（2）点P（x，0）为x轴正半轴上一点，过点P作x轴的垂线，分别交直线AB、线段OM于点D、E，过点E作y轴的垂线交直线AB于点F．设线段DF的长为y（y＞0），求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在x的值，使得经过D、E、M三点的圆与△AOB三边中某一边所在的直线相切？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
分析：（1）首先求出A，B坐标，进而利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）利用OP=x，得出PE=
x，p（x，-
x+6）即可得出DE的长，再利用tan∠AFE=tan∠ABO，得出DF与DE关系求出即可；
（3）分别根据①当⊙G与y轴相切时以及②当⊙G与x轴相切时，③利用∠GTD=90°，则DG＞GT，得出⊙G始终与直线AB相交，即可得出符合要求的答案．
（2）利用OP=x，得出PE=
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
（3）分别根据①当⊙G与y轴相切时以及②当⊙G与x轴相切时，③利用∠GTD=90°，则DG＞GT，得出⊙G始终与直线AB相交，即可得出符合要求的答案．
解答：
解：（1）过点M作MH⊥x轴于点H，过点M作MK⊥y轴于点K．
则OB=2OH，OA=2OK
∵M（4，3），
∴OB=8，OA=6，
∴B（8，0），A（6，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b
∴
，
解得
，
∴直线AB的解析式为y=-
x+6，
（2）∵M（4，3），
∴tan∠MOH=
=
，
∵OP=x，
∴PE=
x，p（x，-
x+6）
∴DE=PD-PE=-
x+6-
x=-
x+6，
∵EF∥OB，
∴∠OBA=∠AFE，
∴tan∠AFE=tan∠ABO=
=
=
，
∴DF=
DE=
(-
x+6），
∴y=-
x+10（0＜x＜4）；
（3）∵∠MDE=∠MED，∴△DEM是等腰三角形，设△DEM在外接圆圆心为G，
过点M作MQ⊥DE于点Q，则此圆的圆心G一定在MQ上．
①当⊙G与y轴相切时，
如图1，则⊙G的半径GM=GD=2，过G作GT⊥AB于T，
可求DM=
，QM=4-x
cos∠DMQ=
=
=
，
解得：x=
，
②当⊙G与x轴相切时，
如图2，则⊙G的半径GM=GD=
，过G作GT′⊥AB于T′，
可求DM=
，QM=4-x
cos∠DMQ=
=
=
，
解得：x=
，
③∵∠GTD=90°，
∴DG＞GT，
∴⊙G始终与直线AB相交．
综上所述：当x=
或x=
时，过D、E、M三点的圆与△AOB的一边所在的直线相切．
解：（1）过点M作MH⊥x轴于点H，过点M作MK⊥y轴于点K．则OB=2OH，OA=2OK
∵M（4，3），
∴OB=8，OA=6，
∴B（8，0），A（6，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b
∴
|
解得
|
∴直线AB的解析式为y=-
| 3 |
| 4 |
（2）∵M（4，3），
∴tan∠MOH=
| MH |
| OH |
| 3 |
| 4 |
∵OP=x，
∴PE=
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴DE=PD-PE=-
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
∵EF∥OB，
∴∠OBA=∠AFE，
∴tan∠AFE=tan∠ABO=
| AO |
| OB |
| 6 |
| 8 |
| 3 |
| 4 |
∴DF=
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
∴y=-
| 5 |
| 2 |
（3）∵∠MDE=∠MED，∴△DEM是等腰三角形，设△DEM在外接圆圆心为G，
过点M作MQ⊥DE于点Q，则此圆的圆心G一定在MQ上．
①当⊙G与y轴相切时，
如图1，则⊙G的半径GM=GD=2，过G作GT⊥AB于T，
可求DM=
| 16 |
| 5 |
cos∠DMQ=
| MQ |
| MD |
| 4-x | ||
|
| 4 |
| 5 |
解得：x=
| 36 |
| 25 |
②当⊙G与x轴相切时，
如图2，则⊙G的半径GM=GD=
| 3 |
| 2 |
可求DM=
| 24 |
| 5 |
cos∠DMQ=
| MQ |
| MD |
| 4-x | ||
|
| 4 |
| 5 |
解得：x=
| 4 |
| 25 |
③∵∠GTD=90°，
∴DG＞GT，
∴⊙G始终与直线AB相交．
综上所述：当x=
| 36 |
| 25 |
| 4 |
| 25 |
点评：此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质与判定、待定系数法求一次函数解析式、锐角三角函数关系等知识，利用数形结合得出是解题关键．
练习册系列答案
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