Question

8．已知：如图，在?ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形；
变式：如图．E、F是?ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF，求证：四边形AECF是平行四边形．

Answer 1

分析 连接AC，交BD于点O．由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，再结合已知条件证得OE=OF，由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可得出结论；
变式：由ASA证明△ABE≌△CDF，得出对应边相等BE=DF，得出OE=OF，即可得出结论．

解答 证明：连接AC，交BD于点O．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
又∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF．
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
变式：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE与△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DCF}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\\{∠ABE=∠CDF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
即OE=OF．
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用平行四边形的判定方法是解决问题的关键．